Ini adalah pembahasan tentang pengertian turunan, rumus turunan fungsi aljabar, contoh soal turunan dan pembahasan.
Pengertian Turunan dalam Matematika
Turunan adalah salah satu konsep matematika yang sering digunakan dalam kalkulus. Secara sederhana, turunan adalah perubahan suatu fungsi pada setiap titik.
Jadi, jika suatu fungsi terus berubah, maka dapat dikatakan bahwa fungsi tersebut memiliki turunan.
Untuk lebih memahami konsep turunan, perhatikan gambar berikut:
Gambar di atas menunjukkan grafik fungsi f(x) = x2 + 1. Grafik tersebut memiliki garis singgung pada setiap titik.
Garis singgung tersebut dapat memberikan informasi tentang perubahan nilai pada setiap titik.
Rumus Turunan Fungsi Aljabar
Turunan dapat dihitung menggunakan rumus tertentu, terutama untuk fungsi-fungsi aljabar.
Berikut adalah rumus turunan untuk beberapa fungsi aljabar:
- Fungsi konstan: f'(x) = 0
- Fungsi pangkat: f'(x) = nxn-1
- Fungsi logaritma: f'(x) = 1/xln(a)
- Fungsi trigonometri: f'(x) = cos(x), f'(x) = sin(x), f'(x) = tan(x)
Contoh Soal Turunan dan Pembahasan
Berikut ini adalah contoh soal turunan beserta pembahasan:
Contoh Soal: Hitung turunan dari fungsi f(x) = x3 – 2x2 + 4x – 6
Pembahasan:
Read more:
- Jazakallah Khairan Artinya – Terima Kasih dengan Lebih Bermakna
- Alhamdulillah Artinya: Ungkapan Syukur dalam Kehidupan
- Excited Artinya: Mengapa Kita Perlu Mengalami Rasa Gembira
- f'(x) = 3x2 – 4x + 4
Jadi, turunan dari fungsi f(x) = x3 – 2x2 + 4x – 6 adalah f'(x) = 3x2 – 4x + 4.
Hal yang Penting untuk Dipahami tentang Turunan
Salah satu hal yang penting untuk dipahami tentang turunan adalah konsep “instantaneous rate of change atau perubahan laju seketika.
Turunan pada suatu titik dapat memberikan informasi tentang perubahan laju fungsi pada titik tersebut. Selain itu, turunan juga sering digunakan dalam berbagai bidang, seperti ekonomi, teknik, dan ilmu fisika.
Manfaat Turunan
Turunan adalah salah satu konsep dasar dalam matematika.
Konsep ini kemudian diterapkan dalam berbagai bidang seperti fisika, ekonomi, dan teknik. Berikut adalah manfaat turunan dalam bidang-bidang tersebut.
Manfaat Turunan dalam Fisika
Turunan sangat penting dalam memahami konsep gerak pada benda. Konsep turunan digunakan dalam persamaan diferensial yang menggambarkan perubahan kecepatan dalam waktu tertentu. Dalam fisika, turunan juga digunakan untuk menghitung percepatan benda dan gradient medan gaya.
Manfaat Turunan dalam Ekonomi
Turunan menjadi penting dalam aplikasi teori ekonomi. Di sini, turunan digunakan untuk menghitung nilai elastisitas permintaan dan penawaran barang. Nilai elastisitas tersebut dihitung dengan cara menghitung turunan dari persamaan fungsi permintaan dan penawaran.
Manfaat Turunan dalam Bidang Teknik
Turunan digunakan dalam berbagai bidang teknik.
Dalam teknik kimia, turunan digunakan untuk memahami konsep perubahan konsentrasi zat dalam waktu tertentu.
Di bidang teknik mesin, turunan digunakan untuk menghitung kinematika dan dinamika benda serta perhitungan daya dan torsi yang dihasilkan dari mesin.
Terlepas dari bidangnya, turunan menjadi konsep penting dalam memahami banyak hal yang terjadi di sekitar kita.
Turunan sangat sering digunakan dalam perhitungan dan banyak hal yang kita gunakan sehari-hari, tanpa kita sadari.
Metode Menghitung Turunan
Metode menghitung turunan adalah salah satu konsep dasar dalam kalkulus. Turunan mengungkapkan perubahan suatu fungsi terhadap variabel independen. Dalam matematika, turunan dapat digunakan untuk mengekspresikan informasi tentang perubahan suatu fungsi, seperti kecepatan atau kemiringan, dan digunakan dalam berbagai aplikasi seperti fisika, ekonomi, dan teknik.
Metode Diferensiasi Numerik
Metode diferensiasi numerik melibatkan penggunaan perhitungan aritmetika dasar dan metode numerik untuk mendapatkan nilai turunan suatu fungsi pada titik tertentu. Metode ini dapat digunakan ketika suatu fungsi tidak memiliki turunan yang memiliki formula matematika yang mudah atau sulit untuk ditemukan, atau ketika waktu komputasi menjadi faktor penting dalam perhitungan.
Metode Diferensiasi Simbolik
Metode diferensiasi simbolik melibatkan penggunaan aturan dan formula untuk menghitung turunan suatu fungsi secara simbolik.
Metode ini berkaitan langsung dengan turunan pada kalkulus dan dapat diterapkan pada fungsi apa pun, baik itu fungsi sederhana maupun kompleks. Metode ini umumnya lebih akurat dan presisi dari metode numerik dan digunakan dalam berbagai bidang seperti riset, pendidikan, dan industri.
Metode Diferensiasi Parsial
Metode diferensiasi parsial digunakan untuk menghitung turunan parsial suatu fungsi multivariabel terhadap satu variabel.
Metode ini sering digunakan dalam bidang matematika, fisika, dan rekayasa untuk mengekspresikan informasi tentang perubahan sistem dinamis.
Salah satu hal yang tidak diketahui oleh banyak orang tentang metode menghitung turunan adalah bagaimana kemampuan turunan untuk mengungkapkan informasi yang penting dalam banyak bidang. Kemampuan turunan untuk mengungkapkan perubahan kecepatan atau kemiringan suatu fungsi dapat memberikan informasi yang sangat berharga dalam perhitungan dan aplikasi.
Turunan Kedua dan Ketiga
Definisi Turunan Orde Kedua dan Ketiga
Turunan kedua dan ketiga adalah konsep matematika yang melibatkan perhitungan turunan dari suatu fungsi.
Turunan orde kedua mengacu pada turunan kedua dari fungsi, sedangkan turunan orde ketiga merujuk pada turunan ketiga dari fungsi. Dalam kedua kasus ini, turunan menggambarkan perubahan laju pada suatu nilai terekam pada fungsi.
Rumus Turunan Orde Kedua dan Ketiga
Untuk menghitung turunan orde kedua dari fungsi, kita harus mengambil turunan pertama dari fungsi asli, kemudian mengambil turunan dari hasil tersebut. Formulanya adalah:
f”(x) = [f'(x)]’
Untuk menghitung turunan orde ketiga dari fungsi, kita harus mengambil turunan kedua dari fungsi asli, kemudian mengambil turunan dari hasil tersebut. Formulanya adalah:
f”'(x) = [f”(x)]’
Contoh Soal dan Pembahasan Turunan Orde Kedua dan Ketiga
Contoh soal turunan orde kedua:
Hitunglah turunan kedua dari fungsi f(x) = x³ + 2x² – 4x
Jawab:
Pertama-tama, hitunglah turunan pertama dari fungsi f(x):
f'(x) = 3x² + 4x – 4
Selanjutnya, hitunglah turunan kedua dari fungsi f(x):
f”(x) = [f'(x)]’
f”(x) = 6x + 4
Jadi, turunan kedua dari fungsi f(x) adalah 6x + 4.
Contoh soal turunan orde ketiga:
Hitunglah turunan ketiga dari fungsi f(x) = xâ´ + 4x³ – 6x²
Jawab:
Pertama-tama, hitunglah turunan kedua dari fungsi f(x):
f”(x) = 12x² + 24x – 12
Selanjutnya, hitunglah turunan ketiga dari fungsi f(x):
f”'(x) = [f”(x)]’
f”'(x) = 24x + 24
Jadi, turunan ketiga dari fungsi f(x) adalah 24x + 24.
Hal Penting yang Perlu Dipahami
Turunan kedua dan ketiga sering digunakan dalam ilmu matematika dan persamaan diferensial.
Memahami konsep ini dapat membantu dalam memecahkan masalah matematika yang lebih rumit dan membantu dalam memperoleh pemahaman yang lebih baik tentang perubahan laju pada suatu fungsi. Namun, sebagian besar orang mungkin tidak mengetahui tentang konsep ini dan penting untuk mempelajarinya agar dapat mengembangkan keterampilan matematika yang lebih baik.
.
